Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Espandi $(3 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $6$ e $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.3

Riordina $- 5 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $2 - λ$ per $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Combina i termini opposti in $2 - λ - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2.2

Somma $- λ$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (1 \cdot - 1 - (3 - λ))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - (3 - λ))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 1 \cdot 3 - - λ)$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 - - λ)$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- - λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + 1 λ)$

Passaggio 5.4.2.1.4.2

Moltiplica $λ$ per $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + λ)$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 4 + λ)$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $- 4$ e $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Espandi $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $- 5 λ$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.4

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.4.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.4.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.4.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.6

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.6.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.6.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.2.8

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.3

Somma $λ^{2}$ e $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.4

Sottrai $8 λ$ da $- 5 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.5

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 (λ - 4)$

Passaggio 5.5.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ - 2 \cdot - 4$

Passaggio 5.5.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ + 8$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $λ$ da $- 13 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3} - 2 λ + 8$

Passaggio 5.5.3

Sottrai $2 λ$ da $- 14 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ + 8 - λ^{3} + 8$

Passaggio 5.5.4

Somma $8$ e $8$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 16$

Passaggio 5.5.5

Sposta $- 16 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16$

Passaggio 5.5.6

Riordina $6 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 7.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 7.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 7.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$- 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 6 \cdot 4 - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.5

Moltiplica $6$ per $4$ .

$- 8 + 24 - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.6

Somma $- 8$ e $24$ .

$16 - 16 \cdot 2 + 16$

Passaggio 7.1.3.7

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$16 - 32 + 16$

Passaggio 7.1.3.8

Sottrai $32$ da $16$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 7.1.3.9

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 7.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16}{λ - 2}$

Passaggio 7.1.5

Dividi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ per $λ - 2$ .

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Passaggio 7.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

Passaggio 7.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$

Passaggio 7.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Passaggio 7.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} + 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Passaggio 7.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

Passaggio 7.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

Passaggio 7.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

Passaggio 7.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Passaggio 7.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 λ^{2} - 8 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Passaggio 7.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$

Passaggio 7.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

Passaggio 7.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

Passaggio 7.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	+	$16$

Passaggio 7.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 λ + 16$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$

Passaggio 7.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$
										$0$

Passaggio 7.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} + 4 λ - 8$

Passaggio 7.1.6

Scrivi $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ come insieme di fattori.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $λ - 2$ uguale a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 2$

Passaggio 7.4

Imposta $- λ^{2} + 4 λ - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $- λ^{2} + 4 λ - 8$ uguale a $0$ .

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 4$ e $c = - 8$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.3

Sottrai $32$ da $16$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

Passaggio 7.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ .

$λ = 2 \pm 2 i$

Passaggio 7.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$ vera.

$λ = 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$