Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & 4 & - 1 \\ 2 & - 2 & 3 \\ 1 & - 1 & x \end{array}]$

Passaggio 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Passaggio 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ - 1 & x \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 2 x - (- 1 \cdot 3)$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{11} = - 2 x - - 3$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$a_{11} = - 2 x + 3$

Passaggio 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 2 x - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$a_{12} = 2 x - 3$

Passaggio 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 2 \cdot - 1 - 1 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a_{13} = - 2 - 1 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$a_{13} = - 2 + 2$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$a_{13} = 0$

Passaggio 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 1 & x \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 4 x - - - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{21} = 4 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$a_{21} = 4 x - 1$

Passaggio 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Passaggio 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a_{22} = 3 x + 1$

Passaggio 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot - 1 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$a_{23} = - 3 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$a_{23} = - 3 - 4$

Passaggio 2.6.2.2.2

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$a_{23} = - 7$

Passaggio 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 4 \cdot 3 - (- 2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$a_{31} = 12 - (- 2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.7.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$a_{31} = 12 - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.7.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$a_{31} = 12 - 2$

Passaggio 2.7.2.2.2

Sottrai $2$ da $12$ .

$a_{31} = 10$

Passaggio 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$a_{32} = 9 - 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$a_{32} = 9 + 2$

Passaggio 2.8.2.2.2

Somma $9$ e $2$ .

$a_{32} = 11$

Passaggio 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot - 2 - 2 \cdot 4$

Passaggio 2.9.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$a_{33} = - 6 - 2 \cdot 4$

Passaggio 2.9.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$a_{33} = - 6 - 8$

Passaggio 2.9.2.2.2

Sottrai $8$ da $- 6$ .

$a_{33} = - 14$

Passaggio 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 2 x + 3 & - (2 x - 3) & 0 \\ - (4 x - 1) & 3 x + 1 & 7 \\ 10 & - 11 & - 14 \end{array}]$

Passaggio 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} - 2 x + 3 & - (4 x - 1) & 10 \\ - (2 x - 3) & 3 x + 1 & - 11 \\ 0 & 7 & - 14 \end{array}]$