Algebra lineare Esempi

$2 b + c + z = 11$ , $3 b + 4 c + z = 19$ , $3 b + 6 c + 5 z = 43$

Passaggio 1

Trova $A X = B$ dal sistema di equazioni.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} b \\ c \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 11 \\ 19 \\ 43 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova l'inverso della matrice del coefficiente.

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Passaggio 2.1

Find the determinant.

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Passaggio 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 6 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 6 & 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ 6 & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (4 \cdot 5 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 (20 - 6 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$2 (20 - 6) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sottrai $6$ da $20$ .

$2 \cdot 14 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 14 - 1 (3 \cdot 5 - 3 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$2 \cdot 14 - 1 (15 - 3 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 \cdot 14 - 1 (15 - 3) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3.2.2

Sottrai $3$ da $15$ .

$2 \cdot 14 - 1 \cdot 12 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 14 - 1 \cdot 12 + 1 (3 \cdot 6 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$2 \cdot 14 - 1 \cdot 12 + 1 (18 - 3 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$2 \cdot 14 - 1 \cdot 12 + 1 (18 - 12)$

Passaggio 2.1.4.2.2

Sottrai $12$ da $18$ .

$2 \cdot 14 - 1 \cdot 12 + 1 \cdot 6$

Passaggio 2.1.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.5.1.1

Moltiplica $2$ per $14$ .

$28 - 1 \cdot 12 + 1 \cdot 6$

Passaggio 2.1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$28 - 12 + 1 \cdot 6$

Passaggio 2.1.5.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$28 - 12 + 6$

Passaggio 2.1.5.2

Sottrai $12$ da $28$ .

$16 + 6$

Passaggio 2.1.5.3

Somma $16$ e $6$ .

$22$

Passaggio 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 4 - 3 (\frac{1}{2}) & 1 - 3 (\frac{1}{2}) & 0 - 3 (\frac{1}{2}) & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 6 - 3 (\frac{1}{2}) & 5 - 3 (\frac{1}{2}) & 0 - 3 (\frac{1}{2}) & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{2}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{1}{2}) & \frac{2}{5} (- \frac{3}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & \frac{7}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & \frac{7}{2} - \frac{9}{2} (- \frac{1}{5}) & - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} (- \frac{3}{5}) & 0 - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{5} & 1 - \frac{9}{2} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{22}{5} & \frac{6}{5} & - \frac{9}{5} & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{22}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 2.4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{5}{22}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ \frac{5}{22} \cdot 0 & \frac{5}{22} \cdot 0 & \frac{5}{22} \cdot \frac{22}{5} & \frac{5}{22} \cdot \frac{6}{5} & \frac{5}{22} (- \frac{9}{5}) & \frac{5}{22} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{11} & \frac{2}{5} + \frac{1}{5} (- \frac{9}{22}) & 0 + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{11} & 0 - \frac{1}{2} (- \frac{9}{22}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{22} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{9}{44} & - \frac{5}{44} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{4}{11} - \frac{1}{2} (- \frac{6}{11}) & \frac{9}{44} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{22} & - \frac{5}{44} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{22} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Passaggio 3

Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} b \\ c \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 11 \\ 19 \\ 43 \end{array}]$

Passaggio 4

Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} b \\ c \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 11 \\ 19 \\ 43 \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica $[\begin{array}{c} \frac{7}{11} & \frac{1}{22} & - \frac{3}{22} \\ - \frac{6}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} \\ \frac{3}{11} & - \frac{9}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 19 \\ 43 \end{array}]$ .

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Passaggio 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{11} \cdot 11 + \frac{1}{22} \cdot 19 - \frac{3}{22} \cdot 43 \\ - \frac{6}{11} \cdot 11 + \frac{7}{22} \cdot 19 + \frac{1}{22} \cdot 43 \\ \frac{3}{11} \cdot 11 - \frac{9}{22} \cdot 19 + \frac{5}{22} \cdot 43 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro e sinistro.

$[\begin{array}{c} b \\ c \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array}]$

Passaggio 7

Trova la soluzione.

$b = 2$

$c = 2$

$z = 5$