Algebra lineare Esempi

2 x + y = - 2

$2 x + y = - 2$ ,

x + 2 y = 2

$x + 2 y = 2$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

[\begin{matrix} 2 & 1 & - 2 1 & 2 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & - 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 2}{2} 1 & 2 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{- 2}{2} \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 1 & 2 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 1 & 2 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 1 - 1 & 2 - \frac{1}{2} & 2 + 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{2} & 2 + 1 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 0 & \frac{3}{2} & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & \frac{3}{2} & 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 0 & \frac{3}{2} & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & \frac{3}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} & \frac{2}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & - 1 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - 2$

$y = 2$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 2, 2)$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array}]$