Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 \\ 3 & - 12 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 10 & 2 & 5 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.1.11

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 6 \\ - 2 & 10 & 5 \\ - 1 & 6 & 3 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 12 & - 2 & - 6 \\ 10 & 2 & 5 \\ 6 & 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 12 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.1.9

Add the terms together.

$1 (- 12 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 12 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$1 (- 12 (6 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 (- 12 (6 - 5) + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.2.2.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 | \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.3

Calcola $| \begin{array}{c} 10 & 5 \\ 6 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 (10 \cdot 3 - 6 \cdot 5) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 (30 - 6 \cdot 5) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $5$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 (30 - 30) - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $30$ da $30$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.4

Calcola $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 - 6 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 (10 - 12)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $12$ da $10$ .

$1 (- 12 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 6 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$1 (- 12 + 2 \cdot 0 - 6 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.5.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$1 (- 12 + 0 - 6 \cdot - 2) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.5.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$1 (- 12 + 0 + 12) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $- 12$ e $0$ .

$1 (- 12 + 12) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.3.5.3

Somma $- 12$ e $12$ .

$1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot 0 + 3 (3 | \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 (6 - 1 \cdot 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 (6 - 5) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 5 \\ - 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 3 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 (- 6 - (- 1 \cdot 5)) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 (- 6 - - 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 (- 6 + 5) - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.3.2.2

Somma $- 6$ e $5$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2))) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 - (- 1 \cdot 2))) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 - - 2)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 (- 2 + 2)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.4.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 6 \cdot 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 + 2 \cdot - 1 - 6 \cdot 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.5.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 - 2 - 6 \cdot 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.5.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$1 \cdot 0 + 3 (3 - 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$1 \cdot 0 + 3 (1 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4.5.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 12 & - 2 \\ - 2 & 10 & 2 \\ - 1 & 6 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 | \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} | + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.2

Calcola $| \begin{array}{c} 10 & 2 \\ 6 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 (10 \cdot 1 - 6 \cdot 2) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 (10 - 6 \cdot 2) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 (10 - 12) + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.2.2.2

Sottrai $12$ da $10$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 (- 2 \cdot 1 - (- 1 \cdot 2)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 (- 2 - (- 1 \cdot 2)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 (- 2 - - 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 (- 2 + 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.3.2.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |)$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 10 \\ - 1 & 6 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 2 \cdot 6 - (- 1 \cdot 10)))$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 - (- 1 \cdot 10)))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 - - 10))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 (- 12 + 10))$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $- 12$ e $10$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (3 \cdot - 2 + 12 \cdot 0 - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (- 6 + 12 \cdot 0 - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.5.5.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (- 6 + 0 - 2 \cdot - 2)$

Passaggio 1.5.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (- 6 + 0 + 4)$

Passaggio 1.5.5.2

Somma $- 6$ e $0$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 (- 6 + 4)$

Passaggio 1.5.5.3

Somma $- 6$ e $4$ .

$1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + 0 + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + 3 + 0 + 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.6.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + 3 + 0 - 4$

Passaggio 1.6.2

Somma $0$ e $3$ .

$3 + 0 - 4$

Passaggio 1.6.3

Somma $3$ e $0$ .

$3 - 4$

Passaggio 1.6.4

Sottrai $4$ da $3$ .

$- 1$

Passaggio 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 3

Set up a $4 \times 8$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & - 12 & - 2 & - 6 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 12 - 3 \cdot - 3 & - 2 - 3 \cdot 0 & - 6 - 3 \cdot - 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ - 2 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 2 & 0 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 2 & 0 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 10 + 2 \cdot - 3 & 2 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 \cdot - 2 & 0 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 2 & 0 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 2 & 0 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 6 - 3 & 1 + 0 & 3 - 2 & 0 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 2 & 0 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{2}{3}) & 1 - 4 \cdot 0 & 2 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 (- \frac{1}{3}) & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 1 & - 2 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 3 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 3 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 1 & - 2 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 (\frac{2}{3}) & 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 (- \frac{1}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 1 & - 2 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & - 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{3}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} (- \frac{2}{3}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot - 2 & - \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & - 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} & 3 & - 2 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & - 2 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.8

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} & 3 & - 2 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - \frac{3}{2} & - 2 + 1 \cdot 3 & 1 - 2 & 0 - \frac{3}{2} & 1 + 0 \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} & 3 & - 2 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 1 & - 1 & - \frac{3}{2} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.9

Multiply each element of $R_{4}$ by $- 2$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $- 2$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} & 3 & - 2 & - \frac{3}{2} & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 & - 2 (- \frac{3}{2}) & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.9.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} & 3 & - 2 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.10

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{3}{2} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{3}{2} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 3 + \frac{3}{2} \cdot - 2 & - 2 + \frac{3}{2} \cdot 2 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 3 & 0 + \frac{3}{2} \cdot - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.10.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.11

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Passaggio 4.11.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 3 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot - 2 & 0 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 & 0 + 2 \cdot - 2 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.11.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 & - 3 & 4 & 6 & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.12

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.12.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 & - 3 & 4 & 6 & - 4 \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 3 & 0 - \frac{2}{3} \cdot - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.12.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 & - 3 & 4 & 6 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.13

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.13.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot - 1 & 6 + 3 \cdot - 2 & - 4 + 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 4.13.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & - 3 \\ - 2 & 2 & 3 & - 2 \end{array}]$