Algebra lineare Esempi

$- x + 3 y + 10 z = 8$ $4 x - 9 y - 34 z = - 17$ $3 x + 5 y - 2 z = 46$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 10 & 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- 1$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 10 & - 1 \cdot 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 9 - 4 \cdot - 3 & - 34 - 4 \cdot - 10 & - 17 - 4 \cdot - 8 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot - 3 & - 2 - 3 \cdot - 10 & 46 - 3 \cdot - 8 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{15}{3} \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 - 14 \cdot 0 & 14 - 14 \cdot 1 & 28 - 14 \cdot 2 & 70 - 14 \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 10 + 3 \cdot 2 & - 8 + 3 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x - 4 z = 7$

$y + 2 z = 5$

$0 = 0$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(7 + 4 z, 5 - 2 z, z)$