Algebra lineare Esempi

$x + 3 y + 6 z = 20$ $2 x - 3 y + 3 z = 4$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 & 20 \\ 2 & - 3 & 3 & 4 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 & 20 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 3 & 3 - 2 \cdot 6 & 4 - 2 \cdot 20 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 & 20 \\ 0 & - 9 & - 9 & - 36 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 & 20 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 36 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 6 & 20 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 6 - 3 \cdot 1 & 20 - 3 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x + 3 z = 8$

$y + z = 4$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(8 - 3 z, 4 - z, z)$