Algebra lineare Esempi

$2 + 2 i$

Passaggio 1

Calcola la distanza da $(a, b)$ all'origine usando la formula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{2^{2} + 2^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{4 + 4}$

Passaggio 2.3

Somma $4$ e $4$ .

$r = \sqrt{8}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.5

Estrai i termini dal radicale.

$r = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{2} |)$

Passaggio 4

Semplifica $\arctan (| \frac{2}{2} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi $2$ per $2$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Passaggio 4.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Il punto si trova nel primo quadrante perché $x$ e $y$ sono entrambi positivi. I quadranti sono etichettati in senso antiorario, a partire da quello in alto a destra.

Quadrante $1$

Passaggio 6

$(a, b)$ si trova nel primo quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Passaggio 7

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 8

Sostituisci $r$ , $n$ e $θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

${(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.2

$c$ e $\frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.3

$i$ e $\frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 8.4

$s$ e $\frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 8.5

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 8.5.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 8.5.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.5.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Passaggio 8.5.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.5.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8.5.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Passaggio 9

Sostituisci $k = 0$ nella formula e semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2 π (0)$ .

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Passaggio 9.3

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Passaggio 9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 9.5

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 9.5.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Passaggio 10

Sostituisci $k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Passaggio 10.3

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Passaggio 10.4

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Passaggio 10.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Passaggio 10.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Passaggio 10.6.2

Somma $π$ e $8 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Passaggio 10.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 10.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 10.8.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 10.8.2

Elimina il fattore comune.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 10.8.3

Riscrivi l'espressione.

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 11

Sostituisci $k = 2$ nella formula e semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Passaggio 11.3

Per scrivere $4 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Passaggio 11.4

$4 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Passaggio 11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Passaggio 11.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Passaggio 11.6.2

Somma $π$ e $16 π$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Passaggio 11.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 11.8

Moltiplica $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Moltiplica $\frac{17 π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Passaggio 11.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Passaggio 12

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$