Algebra lineare Esempi

x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 5

$x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 5$

2 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 24

$2 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 24$

5 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 14

$5 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} = - 14$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 24 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 24 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 4 - 2 \cdot 2 & 24 - 2 \cdot 5 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 4 - 2 \cdot 2 & 24 - 2 \cdot 5 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 & - 3 & 1 & - 14 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \cdot - 3 & 1 - 5 \cdot 2 & - 14 - 5 \cdot 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \cdot - 3 & 1 - 5 \cdot 2 & - 14 - 5 \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & 14 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{0}{7} & \frac{14}{7} \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ \frac{0}{7} & \frac{7}{7} & \frac{0}{7} & \frac{14}{7} \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 12 & - 9 & - 39 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 12 R_{2}$ per rendere il dato in

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 12 \cdot 0 & 12 - 12 \cdot 1 & - 9 - 12 \cdot 0 & - 39 - 12 \cdot 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - 12 \cdot 0 & 12 - 12 \cdot 1 & - 9 - 12 \cdot 0 & - 39 - 12 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 9 & - 63 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

- \frac{1}{9}

$- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

- \frac{1}{9}

$- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 63 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 63 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ per rendere il dato in

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 5 - 2 \cdot 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 9 + 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 9 + 3 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x_{1} = - 3

$x_{1} = - 3$

x_{2} = 2

$x_{2} = 2$

x_{3} = 7

$x_{3} = 7$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

(- 3, 2, 7)

$(- 3, 2, 7)$