Algebra lineare Esempi

$- 3 + 4 i$

Passaggio 1

Calcola la distanza da $(a, b)$ all'origine usando la formula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Passaggio 2.3

Somma $9$ e $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = 5$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Passaggio 4

Semplifica $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Passaggio 4.2

$- \frac{4}{3}$ corrisponde approssimativamente a $- 1.\overline{3}$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo $- \frac{4}{3}$ ed elimina il valore assoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Passaggio 4.3

Calcola $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Passaggio 5

Il punto si trova nel secondo quadrante perché $x$ è negativo e $y$ è positivo. I quadranti sono etichettati in senso antiorario, a partire da quello in alto a destra.

Quadrante $2$

Passaggio 6

$(a, b)$ si trova nel secondo quadrante. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Passaggio 7

Semplifica $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$3.14159265 - 0.92729521$

Passaggio 7.2

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

$2.21429743$

Passaggio 8

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 9

Sostituisci $r$ , $n$ e $θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{4}$

Passaggio 9.2

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$

Passaggio 9.3

${(5)}^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Passaggio 9.4

$c$ e $\frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Passaggio 9.5

$i$ e $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Passaggio 9.6

$s$ e $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Passaggio 9.7

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Passaggio 9.7.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Passaggio 9.7.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Passaggio 9.7.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Passaggio 9.7.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Passaggio 9.7.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Passaggio 9.7.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Passaggio 10

Sostituisci $k = 0$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{4})$

Passaggio 10.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{4})$

Passaggio 10.3

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{4})$

Passaggio 10.4

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{4})$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{4})$

Passaggio 10.5

Somma $2.21429743$ e $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743}{4})$

Passaggio 10.6

Dividi $2.21429743$ per $4$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 0.55357435$

Passaggio 10.7

Moltiplica $5^{\frac{1}{4}} c i s$ per $0.55357435$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

Passaggio 11

Sostituisci $k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{4})$

Passaggio 11.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{4})$

Passaggio 11.3

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{4})$

Passaggio 11.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{4})$

Passaggio 11.5

Somma $2.21429743$ e $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{8.49748274}{4})$

Passaggio 11.6

Dividi $8.49748274$ per $4$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 2.12437068$

Passaggio 11.7

Moltiplica $5^{\frac{1}{4}} c i s$ per $2.12437068$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

Passaggio 12

Sostituisci $k = 2$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{4})$

Passaggio 12.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{4})$

Passaggio 12.3

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{4})$

Passaggio 12.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{4})$

Passaggio 12.5

Somma $2.21429743$ e $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{14.78066804}{4})$

Passaggio 12.6

Dividi $14.78066804$ per $4$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 3.69516701$

Passaggio 12.7

Moltiplica $5^{\frac{1}{4}} c i s$ per $3.69516701$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

Passaggio 13

Sostituisci $k = 3$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (3)}{4})$

Passaggio 13.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (3)}{4})$

Passaggio 13.3

Sottrai $0.92729521$ da $3.14159265$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (3)}{4})$

Passaggio 13.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 6 π}{4})$

Passaggio 13.5

Somma $2.21429743$ e $6 π$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21.06385335}{4})$

Passaggio 13.6

Dividi $21.06385335$ per $4$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 5.26596333$

Passaggio 13.7

Moltiplica $5^{\frac{1}{4}} c i s$ per $5.26596333$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$

Passaggio 14

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$