Algebra lineare Esempi

$x + y + z + t = 4$ , $2 x - y - z - t = - 1$ , $x + y - 2 z = 0$ , $3 x + 3 t = 6$

Passaggio 1

Trova $A X = B$ dal sistema di equazioni.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova l'inverso della matrice del coefficiente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $4$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.1.1.3

Il minore per $a_{41}$ è il determinante con riga $4$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{41}$ per il suo cofattore.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.5

Il minore per $a_{42}$ è il determinante con riga $4$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{42}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.7

Il minore per $a_{43}$ è il determinante con riga $4$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{43}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.9

Il minore per $a_{44}$ è il determinante con riga $4$ e colonna $4$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.10

Moltiplica l'elemento $a_{44}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.1.11

Somma i termini.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.1.4.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.4.1.9

Somma i termini.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.2.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.3

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.3.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.5.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.5.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.5.2

Somma $3$ e $3$ .

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.4.5.3

Somma $6$ e $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.1.5.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.5

Il minore per $a_{21}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{21}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.7

Il minore per $a_{31}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{31}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 2.1.5.1.9

Somma i termini.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.4.2.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.5.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.5.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Passaggio 2.1.5.5.3

Somma $0$ e $0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $- 27$ e $0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Passaggio 2.1.6.3

Somma $- 27$ e $0$ .

$- 27 + 0$

Passaggio 2.1.6.4

Somma $- 27$ e $0$ .

$- 27$

Passaggio 2.2

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 2.3

Imposta una matrice $4 \times 8$ dove la metà di sinistra è la matrice originale mentre la metà di destra è la sua matrice identità.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Esegui l'operazione in riga $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $4, 1$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $4, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5

Esegui l'operazione in riga $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in $4, 3$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ per rendere il dato in $4, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.5.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{4}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $4, 4$ un $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{4}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $4, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 2.4.6.2

Semplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.7.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.10

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.10.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.4.10.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2.5

La metà destra della forma a scalini ridotta per righe è l'inverso.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 3

Moltiplica a sinistra entrambi i lati dell'equazione della matrice per la matrice inversa.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Passaggio 4

Qualsiasi matrice moltiplicata per il suo inverso è sempre uguale a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è $4 \times 4$ e la seconda matrice è $4 \times 1$ .

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro e sinistro.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 7

Trova la soluzione.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$