Algebra lineare Esempi

$9 x_{2} - 7 x_{3} = 2$ $- x_{3} = - 2$ $- 3 x_{1} + 6 x_{2} + 8 x_{3} = 1$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ - 3 & 6 & 8 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Sostituisci $R_{3}$ con $R_{1}$ per inserire un valore diverso da zero in $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 8 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci $R_{3}$ con $R_{2}$ per inserire un valore diverso da zero in $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- 1$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{7}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} + \frac{7}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{7}{9} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - 2 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 (\frac{16}{9}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{77}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x_{1} = \frac{77}{9}$

$x_{2} = \frac{16}{9}$

$x_{3} = 2$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(\frac{77}{9}, \frac{16}{9}, 2)$