Algebra lineare Esempi

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 1

Calcola la distanza da $(a, b)$ all'origine usando la formula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $8$ per $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Passaggio 2.6

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Passaggio 2.7

Somma $0$ e $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 2.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = 8$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Passaggio 4

L'equazione ha una frazione indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Trova il quadrante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $8$ per $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Passaggio 5.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(0, 8)$

Passaggio 5.5

Poiché la coordinata y è positiva e la coordinata x è $0$ , il punto di trova sull'asse x tra il primo e il quarto quadrante. I quadranti sono etichettati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Tra quadrante $1$ e $2$ .

Passaggio 6

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 7

Sostituisci $r$ , $n$ e $θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

${(8)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.2

$c$ e $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.3

$i$ e $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 7.4

$s$ e $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 7.5

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 7.5.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 7.5.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.5.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.5.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.5.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.5.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8

Sostituisci $k = 0$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.4

Calcola l'esponente.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.5

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Passaggio 9

Sostituisci $k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.4

Calcola l'esponente.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Passaggio 10

Sostituisci $k = 2$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.4

Calcola l'esponente.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Passaggio 11

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$