Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Per determinare se le colonne nella matrice sono linearmente indipendenti, determina se l'equazione $A x = 0$ ha soluzioni non banali.

Passaggio 2

Scrivi come una matrice aumentata per $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 3.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{15}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{15}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{3}{7}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{3}{7}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 3.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 3.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Scrivi la matrice come sistema di equazioni lineari.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Passaggio 5

Poiché l'unica soluzione di $A x = 0$ è la soluzione banale, i vettori sono linearmente indipendenti.

Linearmente indipendente