Algebra lineare Esempi

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Passaggio 1

Calcola la distanza da

(a, b)

$(a, b)$ all'origine usando la formula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva

- 3

$- 3$ alla potenza di

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di

sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica

0

$0$ per

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 2.8

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 2.9

Somma

9

$9$ e

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Passaggio 2.10

Riscrivi

9

$9$ come

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 2.11

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Passaggio 4

Semplifica

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (0)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.2.2

Il valore esatto di

sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- cos (0)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Passaggio 4.3.2

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1 \cdot 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta quello negativo dal denominatore di

\frac{0}{- 1}

$\frac{0}{- 1}$ .

θˆ = arctan (| - 1 \cdot 0 |)

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Passaggio 4.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

0

$0$ è

0

$0$ .

θˆ = arctan (0)

$θ̂ = \arctan (0)$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di

arctan (0)

$\arctan (0)$ è

0

$0$ .

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

Passaggio 5

Trova il quadrante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

(3 (- cos (0)), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

(3 (- 1 \cdot 1), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.3

Moltiplica

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

(3 \cdot - 1, sin (π) \cdot 3)

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica

3

$3$ per

- 1

$- 1$ .

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Passaggio 5.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

(- 3, sin (0) \cdot 3)

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Passaggio 5.5

Il valore esatto di

sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

(- 3, 0 \cdot 3)

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Passaggio 5.6

Moltiplica

0

$0$ per

3

$3$ .

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

Passaggio 5.7

Poiché la coordinata x è negativa e la coordinata y è

0

$0$ , il punto di trova sull'asse x tra il secondo e il terzo quadrante. I quadranti sono etichettati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Tra quadrante

2

$2$ e

3

$3$ .

Tra quadrante

2

$2$ e

3

$3$ .

Passaggio 6

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 7

Sostituisci

r

$r$ ,

n

$n$ e

θ

$θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

{(3)}^{\frac{1}{3}}

${(3)}^{\frac{1}{3}}$ e

\frac{θ + 2 π k}{3}

$\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.2

c

$c$ e

\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.3

i

$i$ e

\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 7.4

s

$s$ e

\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 7.5

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Passaggio 7.5.2

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Passaggio 7.5.3

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.5.4

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Passaggio 7.5.5

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.5.6

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 7.5.7

Rimuovi le parentesi.

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Passaggio 8

Sostituisci

k = 0

$k = 0$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Rimuovi le parentesi.

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Passaggio 8.2

Moltiplica

2 π (0)

$2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica

0

$0$ per

2

$2$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica

0

$0$ per

π

$π$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Passaggio 9

Sostituisci

k = 1

$k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Passaggio 9.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Passaggio 10

Sostituisci

k = 2

$k = 2$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Passaggio 10.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Passaggio 11

Elenca le soluzioni.

k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$