Algebra lineare Esempi

4 i

$4 i$

Passaggio 1

Calcola la distanza da

(a, b)

$(a, b)$ all'origine usando la formula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica

\sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

r = \sqrt{0 + 4^{2}}

$r = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

r = \sqrt{0 + 16}

$r = \sqrt{0 + 16}$

Passaggio 2.3

Somma

0

$0$ e

16

$16$ .

r = \sqrt{16}

$r = \sqrt{16}$

Passaggio 2.4

Riscrivi

16

$16$ come

4^{2}

$4^{2}$ .

r = \sqrt{4^{2}}

$r = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

r = 4

$r = 4$

r = 4

$r = 4$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{4}{0} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{0} |)$

Passaggio 4

L'equazione ha una frazione indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Poiché la coordinata y è positiva e la coordinata x è

0

$0$ , il punto di trova sull'asse x tra il primo e il quarto quadrante. I quadranti sono etichettati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Tra quadrante

1

$1$ e

2

$2$ .

Passaggio 6

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 7

Sostituisci

r

$r$ ,

n

$n$ e

θ

$θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

{(4)}^{\frac{1}{2}}

${(4)}^{\frac{1}{2}}$ e

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.2

c

$c$ e

\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.3

i

$i$ e

\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 7.4

s

$s$ e

\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 7.5

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 7.5.2

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 7.5.3

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.5.4

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Passaggio 7.5.5

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.5.6

Rimuovi le parentesi.

\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 7.5.7

Rimuovi le parentesi.

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Passaggio 8

Sostituisci

k = 0

$k = 0$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.3

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.4

Calcola l'esponente.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 8.5

Moltiplica

$2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Moltiplica

$0$ per

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica

$0$ per

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Passaggio 9

Sostituisci

$k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi l'espressione.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.4

Calcola l'esponente.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 9.5

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$