Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova l'inverso di $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Passaggio 1.1

È possibile trovare l'inverso di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ in cui $a d - b c$ è il determinante.

Passaggio 1.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Passaggio 1.2.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Passaggio 1.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Passaggio 1.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 - 2$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$1$

Passaggio 1.3

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 1.4

Sostituisci i valori noti nella formula con l'inverso.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 1.5

Dividi $1$ per $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 1.6

Moltiplica $1$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $27$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $- \frac{1}{3}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati per l'inverso di $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Passaggio 3

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Passaggio 3.1.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è $2 \times 2$ e la seconda matrice è $2 \times 2$ .

Passaggio 3.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Passaggio 3.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Moltiplicare la matrice identità per qualsiasi matrice $A$ dà come risultato la matrice stessa $A$ .

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Passaggio 3.3.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$