Algebra lineare Esempi

$x + y + z = 6$ $2 x - y - z = 3$ $x + 2 y + 2 z = 0$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 6 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 1 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 2 - 1 & 0 - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 3 & - 3 & - 9 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 9 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & - 6 - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $3, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in $2, 4$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in $2, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x = 0$

$y + z = 0$

$0 = 1$

Passaggio 4

Il sistema è incoerente quindi non c'è alcuna soluzione.

$Nessuna soluzione$