Algebra lineare Esempi

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Passaggio 1

Sposta tutte le variabili sul lato sinistro di ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai

4 y

$4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Passaggio 1.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Passaggio 1.3

Sottrai

8 x

$8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

Passaggio 1.4

Riordina

y

$y$ e

- 8 x

$- 8 x$ .

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

Passaggio 2

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova il determinante della matrice del coefficiente

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scrivi

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ in notazione del determinante.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica

5

$5$ per

1

$1$ .

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

- 4

$- 4$ .

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

32

$32$ .

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

Passaggio 3.3.2

Sottrai

32

$32$ da

5

$5$ .

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

Passaggio 4

Poiché il determinante non è

0

$0$ , il sistema può essere risolto usando la Regola di Cramer.

Passaggio 5

Trova il valore di

x

$x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la colonna

1

$1$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

x

$x$ del sistema con

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 4 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

1

$1$ .

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 4

$- 4$ .

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

8

$8$ .

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai

8

$8$ da

- 3

$- 3$ .

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

Passaggio 5.3

Usa la formula per risolvere per

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 5.4

Nella formula, sostituisci

- 27

$- 27$ a

D

$D$ e

- 11

$- 11$ a

D_{x}

$D_{x}$ .

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

Passaggio 6

Trova il valore di

y

$y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la colonna

2

$2$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti

y

$y$ del sistema con

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 3 - 8 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica

5

$5$ per

- 2

$- 2$ .

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica

- 8

$- 8$ per

- 3

$- 3$ .

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

24

$24$ .

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai

24

$24$ da

- 10

$- 10$ .

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

Passaggio 6.3

Usa la formula per risolvere per

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 6.4

Nella formula, sostituisci

- 27

$- 27$ a

D

$D$ e

- 34

$- 34$ a

D_{y}

$D_{y}$ .

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Passaggio 6.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Passaggio 7

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$