Algebra lineare Esempi

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Passaggio 1

Sposta tutte le variabili sul lato sinistro di ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Passaggio 1.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Passaggio 1.3

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $- 8 x$ .

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Passaggio 2

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Trova il determinante della matrice del coefficiente $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scrivi $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ in notazione del determinante.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Passaggio 3.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- (- 8 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$5 - 32$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $32$ da $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Passaggio 4

Poiché il determinante non è $0$ , il sistema può essere risolto usando la Regola di Cramer.

Passaggio 5

Trova il valore di $x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la colonna $1$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 3 - 8$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $8$ da $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Passaggio 5.3

Usa la formula per risolvere per $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 5.4

Nella formula, sostituisci $- 27$ a $D$ e $- 11$ a $D_{x}$ .

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Passaggio 5.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{11}{27}$

Passaggio 6

Trova il valore di $y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la colonna $2$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 8 \cdot - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- 10 - 24$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Passaggio 6.3

Usa la formula per risolvere per $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 6.4

Nella formula, sostituisci $- 27$ a $D$ e $- 34$ a $D_{y}$ .

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Passaggio 6.5

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{34}{27}$

Passaggio 7

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$