Algebra lineare Esempi

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi

0

$0$ . Se non ci sono elementi

0

$0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna

2

$2$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione

-

$-$ .

Passaggio 1.1.3

Il minore per

a_{12}

$a_{12}$ è il determinante con riga

1

$1$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica l'elemento

a_{12}

$a_{12}$ per il suo cofattore.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5

Il minore per

a_{22}

$a_{22}$ è il determinante con riga

2

$2$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica l'elemento

a_{22}

$a_{22}$ per il suo cofattore.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.7

Il minore per

a_{32}

$a_{32}$ è il determinante con riga

3

$3$ e colonna

2

$2$ eliminate.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica l'elemento

a_{32}

$a_{32}$ per il suo cofattore.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.9

Somma i termini.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.2

Moltiplica

0

$0$ per

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.3

Moltiplica

0

$0$ per

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 1.4

Calcola

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ usando la formula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica

6

$6$ per

0

$0$ .

1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 2

$- 2$ .

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Somma

0

$0$ e

2

$2$ .

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2 + 0 + 0

$2 + 0 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

2 + 0

$2 + 0$

Passaggio 1.5.3

Somma

2

$2$ e

0

$0$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Passaggio 2

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 3

Imposta una matrice

3 \times 6

$3 \times 6$ dove la metà di sinistra è la matrice originale mentre la metà di destra è la sua matrice identità.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci

R_{2}

$R_{2}$ con

R_{1}

$R_{1}$ per inserire un valore diverso da zero in

1, 1

$1, 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Esegui l'operazione in riga

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

3

$3$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

3

$3$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Esegui l'operazione in riga

R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ per rendere il dato in

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Esegui l'operazione in riga

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ per rendere il dato in

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 5

La metà destra della forma a scalini ridotta per righe è l'inverso.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$