Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova il determinante.

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Passaggio 1.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $2$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.1.3

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5

Il minore per $a_{22}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{22}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.1.7

Il minore per $a_{32}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{32}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.1.9

Somma i termini.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 1.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 1.4

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Passaggio 1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 0 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $2$ e $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.5.3

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 3

Imposta una matrice $3 \times 6$ dove la metà di sinistra è la matrice originale mentre la metà di destra è la sua matrice identità.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $R_{2}$ con $R_{1}$ per inserire un valore diverso da zero in $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{6}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{6}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- 1$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- 1$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $3$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $3$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Passaggio 5

La metà destra della forma a scalini ridotta per righe è l'inverso.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$