Algebra lineare Esempi

$3 x_{1} + 6 x_{2} - 6 x_{3} = 9$ $2 x_{1} - 5 x_{2} + 4 x_{3} = 6$ $- x_{1} + 16 x_{2} - 14 x_{3} = - 3$

Passaggio 1

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & - 6 & 9 \\ 2 & - 5 & 4 & 6 \\ - 1 & 16 & - 14 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 2.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{- 6}{3} & \frac{9}{3} \\ 2 & - 5 & 4 & 6 \\ - 1 & 16 & - 14 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 2 & - 5 & 4 & 6 \\ - 1 & 16 & - 14 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 2 & 6 - 2 \cdot 3 \\ - 1 & 16 & - 14 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & - 9 & 8 & 0 \\ - 1 & 16 & - 14 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & - 9 & 8 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 16 + 1 \cdot 2 & - 14 - 2 & - 3 + 1 \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & - 9 & 8 & 0 \\ 0 & 18 & - 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{9}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot 8 & - \frac{1}{9} \cdot 0 \\ 0 & 18 & - 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & 18 & - 16 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 18 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{9} & 0 \\ 0 - 18 \cdot 0 & 18 - 18 \cdot 1 & - 16 - 18 (- \frac{8}{9}) & 0 - 18 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 (- \frac{8}{9}) & 3 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{9} & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$x_{1} - \frac{2}{9} x_{3} = 3$

$x_{2} - \frac{8}{9} x_{3} = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(3 + \frac{2 x_{3}}{9}, \frac{8 x_{3}}{9}, x_{3})$