Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

Passaggio 1

$\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

Passaggio 2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ per $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

Passaggio 3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Passaggio 4

Scomponi $x^{2} - 8 x + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 6, - 2$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 6, 2$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 \leq x \leq 6$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$2 \leq x \leq 6$

Notazione degli intervalli:

$[2, 6]$

Passaggio 13