Matematica discreta Esempi

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ come un'equazione.

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ .

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x - 5} = y - 8$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y - 8 = 2^{x - 5}$ .

$y - 8 = 2^{x - 5}$

Passaggio 3.4.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2^{x - 5} + 8$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ è l'inverso di $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $\log_{2} (x - 8)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

Passaggio 5.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x - 8 + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (2^{x - 5} + 8)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $2^{x - 5}$ e $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 5$ dall'esponente.

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

Passaggio 5.3.4.2

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Passaggio 5.3.4.3

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ è l'inverso di $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$