Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(y^{2} - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ per $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 3.3.1.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 3.3.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 3.3.1.4.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y^{2} (x - 1) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y^{2} (x - 1) = x$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Passaggio 3.4.6.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ come $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ per $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Passaggio 3.4.6.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.6.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ per $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Passaggio 3.4.6.3.2

Eleva $\sqrt{x - 1}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Passaggio 3.4.6.3.3

Eleva $\sqrt{x - 1}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Passaggio 3.4.6.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.6.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.3.6

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

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Passaggio 3.4.6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.6.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.6.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.6.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Passaggio 3.4.6.3.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Passaggio 3.4.6.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Passaggio 3.4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.