Matematica discreta Esempi

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Passaggio 2

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai

$x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4

Sostituisci i valori

$a = 2$ ,

$b = - 12$ e

$c = 3 - x$ nella formula quadratica e risolvi per

$y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 12$ alla potenza di

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.4

Moltiplica

$- 8$ per

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.6

Sottrai

$24$ da

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.7

Scomponi

$8$ da

$120 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.7.1

Scomponi

$8$ da

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.7.2

Scomponi

$8$ da

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.8

Riscrivi

$8 (15 + x)$ come

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.8.1

Scomponi

$4$ da

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.8.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$+$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva

$- 12$ alla potenza di

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica

$- 8$ per

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.6

Sottrai

$24$ da

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.7

Scomponi

$8$ da

$120 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.7.1

Scomponi

$8$ da

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.7.2

Scomponi

$8$ da

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.8

Riscrivi

$8 (15 + x)$ come

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.8.1

Scomponi

$4$ da

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.8.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da

$\pm$ a

$+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$-$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva

$- 12$ alla potenza di

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica

$- 8$ per

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.6

Sottrai

$24$ da

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.7

Scomponi

$8$ da

$120 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.7.1

Scomponi

$8$ da

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.7.2

Scomponi

$8$ da

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.8

Riscrivi

$8 (15 + x)$ come

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.8.1

Scomponi

$4$ da

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.8.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da

$\pm$ a

$-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 4

Verifica se

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ è l'inverso di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ e

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori

$y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 15, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in

$\sqrt{2 (15 + x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (15 + x) \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 (15 + x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 (15 + x) \geq 0$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2.1.2

Dividi

$15 + x$ per

$1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Dividi

$0$ per

$2$ .

$15 + x \geq 0$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai

$15$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 15$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 15, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ è l'intervallo di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ e l'intervallo di

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ è il dominio di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , allora

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ è l'inverso di

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Passaggio 5