Matematica discreta Esempi

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Passaggio 2.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Semplifica.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Passaggio 2.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Semplifica ${(10^{0})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(10^{0})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.1.2

Moltiplica $0$ per $3$ .

$x = 10^{0}$

Passaggio 2.2.3.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x = 1$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x \sqrt{x}}$ come ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Passaggio 4.3

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.4

Somma $2$ e $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x \leq 0$

Passaggio 5

Imposta l'argomento in $\log (\sqrt[3]{x})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

$x \leq 0^{3}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x \leq 0$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 8

Imposta il radicando in $\sqrt{x \sqrt{x}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x \sqrt{x} < 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Semplifica ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.1.4

Somma $2$ e $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} < 0^{2}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{3} < 0$

Passaggio 9.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x < \sqrt[3]{0}$

Passaggio 9.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 9.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x < 0$

Passaggio 9.4

Trova il dominio di $x \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 9.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 9.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$x > 0$

Passaggio 9.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 9.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Passaggio 9.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 9.6.2

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 9.6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Passaggio 9.6.2.3

Il lato sinistro di $2.82842712$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.6.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Passaggio 9.7

Poiché nessun numero rientra nell'intervallo, questa diseguaglianza non ha soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 10

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Passaggio 11