Matematica discreta Esempi

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Sottrai $15 \sqrt{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $15 \sqrt{x}$ da $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $- 3 \sqrt{x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(- x + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(- x + 5)}^{2}$ come $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(- x + 5) (- x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Passaggio 5.3.1.3.1.7

Moltiplica $5$ per $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $9 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $9 x$ da $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Passaggio 6.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 19$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Passaggio 6.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.3

Sottrai $100$ da $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

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Passaggio 6.5.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.6.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3

Sottrai $100$ da $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

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Passaggio 6.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 6.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.7.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Passaggio 6.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.3

Sottrai $100$ da $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

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Passaggio 6.7.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 6.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ vera.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Forma decimale:

$x = 17.57774721 \dots$