Matematica discreta Esempi

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) = \log_{7} (24)$

Passaggio 1

Sottrai $\log_{7} (24)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 2) - \log_{7} (24)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 2)) - \log_{7} (24) = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{7} (\frac{x (x - 2)}{24}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{x (x - 2)}{24}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$ .

$\frac{x (x - 2)}{24} = 7^{0}$

Passaggio 4.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $24$ .

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.1.1

Semplifica $24 \frac{x (x - 2)}{24}$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$24 \frac{x (x - 2)}{24} = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x - 2) = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3.1.1.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 7^{0}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.1

Semplifica $24 \cdot 7^{0}$ .

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Passaggio 4.3.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $24$ per $1$ .

$x^{2} - 2 x = 24$

Passaggio 4.4

Sottrai $24$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi $x^{2} - 2 x - 24$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 6, 4$

Passaggio 4.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.7.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4.8

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.8.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.8.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 4.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 6, - 4$