Matematica discreta Esempi

\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Passaggio 1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Dividi

$2$ per

$1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = x$ e

$b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere

$2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.3

$2$ e

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.3

Espandi

$(2 x + 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Sposta

$x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4.1.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4.2

Somma

$- 2 x$ e

$2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.4.3

Somma

$2 x^{2}$ e

$0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.5.5

Somma

$- 2$ e

$3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Passaggio 2.6

Per scrivere

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.7

$- 1$ e

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.3

Espandi

$(- x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1.1.1

Sposta

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.1.1.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.1.2

Moltiplica

$- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.1.2.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.1.3

Riscrivi

$- 1 x$ come

$- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.2

Sottrai

$x$ da

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.4.3

Somma

$- x^{2}$ e

$0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.5

Sottrai

$x^{2}$ da

$2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 2.9.6

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Passaggio 3

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori

$a = 1$ ,

$b = 1$ e

$c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per

$x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.3

Sottrai

$8$ da

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.4

Riscrivi

$- 7$ come

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (7)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$+$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.3

Sottrai

$8$ da

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.4

Riscrivi

$- 7$ come

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (7)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.4.3

Cambia da

$\pm$ a

$+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.4.4

Riscrivi

$- 1$ come

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.4.5

Scomponi

$- 1$ da

$i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Passaggio 4.4.6

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Passaggio 4.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$-$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica

$- 4$ per

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Sottrai

$8$ da

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi

$- 7$ come

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5

Riscrivi

$\sqrt{- 1 (7)}$ come

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.6

Riscrivi

$\sqrt{- 1}$ come

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.5.3

Cambia da

$\pm$ a

$-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.5.4

Riscrivi

$- 1$ come

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.5.5

Scomponi

$- 1$ da

$- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Passaggio 4.5.6

Scomponi

$- 1$ da

$- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Passaggio 4.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$