Matematica discreta Esempi

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Passaggio 1

Riordina i termini.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $2^{x + 2}$ come $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $2^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Passaggio 4

Rimuovi le parentesi.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $2^{x}$ per $u$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Passaggio 7

Sposta $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Passaggio 8

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $u^{2} - 4 u - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 6, 2$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Passaggio 8.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Passaggio 8.3

Imposta $u - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta $u - 6$ uguale a $0$ .

$u - 6 = 0$

Passaggio 8.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 6$

Passaggio 8.4

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.4.1

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 8.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 8.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 6) (u + 2) = 0$ vera.

$u = 6, - 2$

Passaggio 9

Sostituisci $6$ per $u$ in $u = 2^{x}$ .

$6 = 2^{x}$

Passaggio 10

Risolvi $6 = 2^{x}$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = 6$ .

$2^{x} = 6$

Passaggio 10.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Passaggio 10.3

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Passaggio 10.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (6)$ e semplifica.

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Passaggio 10.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $x \ln (2) = \ln (6)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 10.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Passaggio 11

Sostituisci $- 2$ per $u$ in $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Passaggio 12

Risolvi $- 2 = 2^{x}$ .

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Passaggio 12.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Passaggio 12.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Passaggio 12.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 2)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 12.4

Non c'è soluzione per $2^{x} = - 2$

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$