Matematica discreta Esempi

{(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 1

Sottrai

$r^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2

Semplifica

${(x - 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi

${(x - 3)}^{2}$ come

$(x - 3) (x - 3)$ .

$(x - 3) (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Espandi

$(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 3) - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta

$- 3$ alla sinistra di

$x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Sottrai

$3 x$ da

$- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + {(y - 5)}^{2} - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi

${(y - 5)}^{2}$ come

$(y - 5) (y - 5)$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + (y - 5) (y - 5) - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.5

Espandi

$(y - 5) (y - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 6 x + 9 + y (y - 5) - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 (y - 5) - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 6 x + 9 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Moltiplica

$y$ per

$y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + y \cdot - 5 - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.6.1.2

Sposta

$- 5$ alla sinistra di

$y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 \cdot y - 5 y - 5 \cdot - 5 - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.6.1.3

Moltiplica

$- 5$ per

$- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 5 y - 5 y + 25 - r^{2} = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai

$5 y$ da

$- 5 y$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 10 y + 25 - r^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Somma

$9$ e

$25$ .

$x^{2} - 6 x + y^{2} - 10 y + 34 - r^{2} = 0$

Passaggio 3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori

$a = 1$ ,

$b = - 6$ e

$c = y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per

$x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva

$- 6$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica

$- 10$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica

$- 4$ per

$34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai

$136$ da

$36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.2

Scomponi

$4$ da

$40 y$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.3

Scomponi

$4$ da

$- 100$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.4

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.5

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.1.6

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi

$y^{2} - 10 y + 25$ come

${(y - 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.2.1

Riscrivi

$25$ come

$5^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Passaggio 5.1.6.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove

$a = y$ e

$b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.3

Riordina

$- {(y - 5)}^{2}$ e

$r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = r$ e

$b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.6.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ come

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$+$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva

$- 6$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica

$- 10$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica

$- 4$ per

$34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5

Sottrai

$136$ da

$36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6

Riscrivi

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.1.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.1.2

Scomponi

$4$ da

$40 y$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.1.3

Scomponi

$4$ da

$- 100$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.1.4

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.1.5

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.1.6

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.2

Riscrivi

$y^{2} - 10 y + 25$ come

${(y - 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.2.1

Riscrivi

$25$ come

$5^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Passaggio 6.1.6.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove

$a = y$ e

$b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.3

Riordina

$- {(y - 5)}^{2}$ e

$r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = r$ e

$b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.6.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ come

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Passaggio 6.4

Cambia da

$\pm$ a

$+$ .

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione

$-$ di

$\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Eleva

$- 6$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (y^{2} - 10 y + 34 - r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} - 4 (- 10 y) - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Moltiplica

$- 10$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 4 \cdot 34 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4.2

Moltiplica

$- 4$ per

$34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 - 4 (- r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 y^{2} + 40 y - 136 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5

Sottrai

$136$ da

$36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2} + 40 y - 100 + 4 r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1.1

Scomponi

$4$ da

$- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 40 y - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.1.2

Scomponi

$4$ da

$40 y$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) - 100 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.1.3

Scomponi

$4$ da

$- 100$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.1.4

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2}) + 4 (10 y)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25 + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.1.5

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y) + 4 \cdot - 25$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.1.6

Scomponi

$4$ da

$4 (- y^{2} + 10 y - 25) + 4 r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 10 y - 25 + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.2

Riscrivi

$y^{2} - 10 y + 25$ come

${(y - 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.2.1

Riscrivi

$25$ come

$5^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 10 y + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Passaggio 7.1.6.2.3

Riscrivi il polinomio.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}) + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove

$a = y$ e

$b = 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- {(y - 5)}^{2} + r^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.3

Riordina

$- {(y - 5)}^{2}$ e

$r^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r^{2} - {(y - 5)}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = r$ e

$b = y - 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - (y - 5)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.6.5.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi

$4 (r + y - 5) (r - y + 5)$ come

$2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.7.1

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} ((r + y - 5) (r - y + 5))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Passaggio 7.4

Cambia da

$\pm$ a

$-$ .

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 3 + \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$

$x = 3 - \sqrt{(r + y - 5) (r - y + 5)}$