Matematica discreta Esempi

$\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 1, 1, x - 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il minimo comune multiplo di $x - 1, x - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x - 1$

Passaggio 2

Moltiplica per $x - 1$ ciascun termine in $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ per $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$x = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 3 x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$3 x^{2} - 3 x + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 3 x + 1 - x = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ vera.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 5