Matematica discreta Esempi

$6 e^{x} = 9 - e^{- x}$

Passaggio 1

Somma $e^{- x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 e^{x} + e^{- x} = 9$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$6 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 9$

Passaggio 3

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$6 u + u^{- 1} = 9$

Passaggio 4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 u + \frac{1}{u} = 9$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $6 u + \frac{1}{u} = 9$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $6 u + \frac{1}{u} = 9$ per $u$ .

$6 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 9 u$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $u$ .

$6 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 9 u$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$6 u^{2} + 1 = 9 u$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $9 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 u^{2} + 1 - 9 u = 0$

Passaggio 5.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3.3

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = - 9$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 1)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica.

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Passaggio 5.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.3.4.1.3

Sottrai $24$ da $81$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Passaggio 5.3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}, \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 8

Sostituisci $\frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Passaggio 9.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 9.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 9.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Passaggio 10

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Forma decimale:

$u = 1.37915286 \dots, 0.12084713 \dots$

Passaggio 12