Matematica discreta Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6$

Passaggio 1

Imposta $4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6$ uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 6, \pm 1.5, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 0.25$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.25$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.25$ nel polinomio.

$4 {(- 0.25)}^{3} - 19 {(- 0.25)}^{2} + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 0.015625 - 19 {(- 0.25)}^{2} + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 0.015625$ .

$- 0.0625 - 19 {(- 0.25)}^{2} + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.25$ alla potenza di $2$ .

$- 0.0625 - 19 \cdot 0.0625 + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $- 19$ per $0.0625$ .

$- 0.0625 - 1.1875 + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai $1.1875$ da $- 0.0625$ .

$- 1.25 + 19 \cdot - 0.25 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.7

Moltiplica $19$ per $- 0.25$ .

$- 1.25 - 4.75 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.8

Sottrai $4.75$ da $- 1.25$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 2.1.1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 0.25$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6}{4 x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6$ per $4 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$19 x^{2}$

$19 x$

$6$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $24 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$	+	$6$
							+	$24 x$	+	$6$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $24 x + 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$	+	$6$
							-	$24 x$	-	$6$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$4 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$19 x^{2}$	+	$19 x$	+	$6$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$24 x$	+	$6$
							-	$24 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $4 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6$ come insieme di fattori.

$(4 x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(4 x + 1) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(4 x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 1) (x - 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{4}, 3, 2$

Passaggio 3