Matematica discreta Esempi

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Passaggio 1

Imposta $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ uguale a $0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.6

Somma $- 1$ e $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.7

Moltiplica $13$ per $1$ .

$2 + 13 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $2$ e $13$ .

$15 - 15$

Passaggio 2.1.1.3.9

Sottrai $15$ da $15$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - 2 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ e la cui somma è $b = 2$ .

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Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Riscrivi $2$ come $- 3$ più $5$ .

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $- x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $- x - 3$ uguale a $0$ .

$- x - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x = 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$x = - 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 1, - 3, 5$

Passaggio 3