Matematica discreta Esempi

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$

Passaggio 1

Imposta $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ uguale a $0$ .

$5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 5$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 5$ nel polinomio.

$5 {(- 5)}^{3} + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$5 \cdot - 125 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 125$ .

$- 625 + 27 {(- 5)}^{2} + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- 625 + 27 \cdot 25 + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $27$ per $25$ .

$- 625 + 675 + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.6

Somma $- 625$ e $675$ .

$50 + 11 \cdot - 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $11$ per $- 5$ .

$50 - 55 + 5$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $55$ da $50$ .

$- 5 + 5$

Passaggio 2.1.3.9

Somma $- 5$ e $5$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5}{x + 5}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ per $x + 5$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$5 x^{3}$

$27 x^{2}$

$11 x$

$5$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			+	$5 x^{3}$	+	$25 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{3} + 25 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} + 10 x$

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							+	$x$	+	$5$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 5$

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$x$	+	$5$		$5 x^{3}$	+	$27 x^{2}$	+	$11 x$	+	$5$
			-	$5 x^{3}$	-	$25 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$x$	+	$5$
							-	$x$	-	$5$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$5 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $5 x^{3} + 27 x^{2} + 11 x + 5$ come insieme di fattori.

$(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.4

Imposta $5 x^{2} + 2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $5 x^{2} + 2 x + 1$ uguale a $0$ .

$5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $5 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 5$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $20$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (16)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 5}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{10}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 4 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 i}{5}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 5) (5 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ vera.

$x = - 5, - \frac{1}{5} + \frac{2 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5}$

Passaggio 3