Matematica discreta Esempi

$3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$3 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$3 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 3 + 10 \cdot 1 - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$- 3 + 10 - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.6

Somma $- 3$ e $10$ .

$7 - 1 - 6$

Passaggio 1.1.3.7

Sottrai $1$ da $7$ .

$6 - 6$

Passaggio 1.1.3.8

Sottrai $6$ da $6$ .

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6}{x + 1}$

Passaggio 1.1.5

Dividi $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{2} + 7 x$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 6$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} + 7 x - 6$

Passaggio 1.1.6

Scrivi $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ e la cui somma è $b = 7$ .

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Passaggio 1.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Passaggio 1.2.1.1.2

Riscrivi $7$ come $- 2$ più $9$ .

$(x + 1) (3 x^{2} + (- 2 + 9) x - 6) = 0$

Passaggio 1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (3 x^{2} - 2 x + 9 x - 6) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 9 x - 6) = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 2$ .

$(x + 1) ((3 x - 2) (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{2}{3}, - 3$

Passaggio 7