Matematica discreta Esempi

$x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$8 x^{3} + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $8 x^{2}$ da $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $8 x^{2}$ da $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $8 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $8 x^{2}$ da $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1)$ .

$8 x^{2} (x + 1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $x^{4} + 8 x + 7$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 7$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{4} + 8 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 8 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$1 - 8 + 7$

Passaggio 1.3.3.4

Sottrai $8$ da $1$ .

$- 7 + 7$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $- 7$ e $7$ .

$0$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 8 x + 7}{x + 1}$

Passaggio 1.3.5

Dividi $x^{4} + 8 x + 7$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 1.3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Passaggio 1.3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Passaggio 1.3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 1.3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 1.3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

Passaggio 1.3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x + 7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Passaggio 1.3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

$0$

Passaggio 1.3.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - x^{2} + x + 7$

Passaggio 1.3.6

Scrivi $x^{4} + 8 x + 7$ come insieme di fattori.

$8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi $x + 1$ da $8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $x + 1$ da $8 x^{2} (x + 1)$ .

$(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

$(x + 1) (8 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Passaggio 1.5

Sottrai $x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} + 7 x^{2} + x + 7) = 0$

Passaggio 1.6

Scomponi.

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Passaggio 1.6.1

Riscrivi $x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 1.6.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.6.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) ((x^{3} + 7 x^{2}) + x + 7) = 0$

Passaggio 1.6.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) (x^{2} (x + 7) + 1 (x + 7)) = 0$

Passaggio 1.6.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 7$ .

$(x + 1) ((x + 7) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, - 7, i, - i$

Passaggio 7