Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3} + 3 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $u^{2} - 5 u + 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1$

Passaggio 2.1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.12

Scomponi.

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Passaggio 2.1.12.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.13

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 2.1.13.1

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.13.2

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.13.3

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.15

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 2.1.15.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.15.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.16

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.16.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.16.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.1.17

Riordina i termini.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.18

Scomponi.

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Passaggio 2.1.18.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.18.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 2.1.18.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.18.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.1.19

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 2.1.19.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.19.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.19.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.1.19.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ vera.

$x = - 1, 1, 4$

Passaggio 3