Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$ uguale a $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$4 x^{3} - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 12 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $u^{2} + 3 u - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $3$ .

$- 3, 6$

Passaggio 2.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} - 3$ da $4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} - 3$ da $4 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} - 3$ da $(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x + x^{2} + 6) = 0$

Passaggio 2.1.8

Riordina i termini.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + 4 x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $24$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ vera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Passaggio 3