Matematica discreta Esempi

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 x + 1}$ come ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ .

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{5 x}$ per $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{5 x}$ per $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{5 x}$ alla potenza di $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5 x}$ alla potenza di $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{5 x}}^{2}$ come $5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x}$ come ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.5

Semplifica.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $\sqrt{5 x}$ e $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Passaggio 3

Risolvi per $2 \sqrt{5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $2 \sqrt{5 x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Passaggio 3.2.3

Combina i termini opposti in $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $7 x$ e $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $5 x$ da $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x}$ come ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Calcola l'esponente.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.8

Semplifica.

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(2 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $4 u$ da $20 u - 4 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $4 u$ da $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Scomponi $4 u$ da $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Passaggio 6.2.2.3

Scomponi $4 u$ da $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $5 - x$ uguale a $0$ .

$5 - x = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $5 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 5$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 5$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x = 5$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (5 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 5$

Passaggio 7