Matematica discreta Esempi

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Passaggio 1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 2.6

I fattori di $1 + 4 x$ sono $(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , che corrisponde a $1 + 4 x$ moltiplicato per se stesso $2$ volte.

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di ${(1 + 4 x)}^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

${(1 + 4 x)}^{2}$

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica per $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ ciascun termine in $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ per $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi ${(1 + 4 x)}^{2}$ da $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Semplifica $5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(1 + 4 x)}^{2}$ come $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Passaggio 4.1.3.1.2

Moltiplica $4 x$ per $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Passaggio 4.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Passaggio 4.1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Passaggio 4.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Passaggio 4.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.1.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Passaggio 4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $16$ per $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Passaggio 4.2

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $4 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $80 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5

Sostituisci i valori $a = 84$ , $b = 40$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6

Semplifica.

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Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

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Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $- 336$ per $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.3

Sottrai $1680$ da $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $- 80$ come $- 1 (80)$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (80)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.7

Riscrivi $80$ come $4^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.6.1.7.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica $\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Passaggio 5