Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ uguale a $0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $10 x$ da $10 x^{3} - 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $10 x$ da $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $10 x$ da $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $10 x$ da $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $u^{2} - 12 u + 11$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $11$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 11, - 1$

Passaggio 2.1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

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Passaggio 2.1.10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Passaggio 2.1.11.3

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Passaggio 2.1.12

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Passaggio 2.1.13

Scomponi $10 u + u^{2} - 11$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 11$ e la cui somma è $10$ .

$- 1, 11$

Passaggio 2.1.13.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Passaggio 2.1.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Passaggio 2.1.15

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 2.1.15.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Passaggio 2.1.15.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Passaggio 2.1.15.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 11$ uguale a $0$ .

$x + 11 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 11$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ vera.

$x = - 1, 1, - 11$

Passaggio 3