Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 5 \cdot 1^{2} - 22 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 5 \cdot 1 - 22 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 - 22 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $1$ e $5$ .

$6 - 22 \cdot 1 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.6

Moltiplica $- 22$ per $1$ .

$6 - 22 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sottrai $22$ da $6$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 2.1.1.3.8

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16}{x - 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ per $x - 1$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$22 x$

$16$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 16 x + 16$

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$22 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 6 x - 16$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{3} + 5 x^{2} - 22 x + 16$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{2} + 6 x - 16) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2} + 6 x - 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 6 x - 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $6$ .

$- 2, 8$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x - 2) (x + 8)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 2) (x + 8) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 2) (x + 8) = 0$ vera.

$x = 1, 2, - 8$

Passaggio 3