Matematica discreta Esempi

$e^{2 \ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)}$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3 > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\sqrt{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} > - 3$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica ogni lato per $\sqrt{- x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = - 3 \sqrt{- x}$

Passaggio 2.1.4

Risolvi per $\sqrt{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 \sqrt{- x} = 1$ .

$- 3 \sqrt{- x} = 1$

Passaggio 2.1.4.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sqrt{- x} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sqrt{- x} = 1$ .

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Passaggio 2.1.4.2.2.1.2

Dividi $\sqrt{- x}$ per $1$ .

$\sqrt{- x} = \frac{1}{- 3}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{- x} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x}}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x}$ come ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x)}^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$- x = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ${(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- x = 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$- x = \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- x = \frac{1}{3^{2}}$

Passaggio 2.3.3.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- x = \frac{1}{9}$

Passaggio 2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = \frac{1}{9}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = \frac{1}{9}$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{1}{9}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{1}{9}$ come $- \frac{1}{9}$ .

$x = - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.5

Trova il dominio di $(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \leq 0$

Passaggio 2.5.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x} = 0$

Passaggio 2.5.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x}$ come ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1

Semplifica ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2.2.1.2

Semplifica.

$- x = 0^{2}$

Passaggio 2.5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x = 0$

Passaggio 2.5.4.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.4.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.5.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0)$

Passaggio 2.6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{9}$

$- \frac{1}{9} < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 2.7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.7.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 3)}}) + 3 > 0$

Passaggio 2.7.1.3

Il lato sinistro di $3.57735026$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.7.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{9} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{9} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.06$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.06$ nella diseguaglianza originale.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 0.06)}}) + 3 > 0$

Passaggio 2.7.2.3

Il lato sinistro di $7.0824829$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.7.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 2.7.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(\frac{1}{\sqrt{- (2)}}) + 3 > 0$

Passaggio 2.7.3.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 2.7.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{9}$ Vero

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{1}{9}$ Vero

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 2.8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \frac{1}{9}$ o $- \frac{1}{9} < x < 0$

Passaggio 3

Imposta il radicando in $\sqrt{- x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x \geq 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \leq 0$

Passaggio 5

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x}$ come ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica.

$- x = 0^{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 0$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1}{9}) \cup (- \frac{1}{9}, 0)$

Notazione intensiva:

${x | x < 0, x \neq - \frac{1}{9}}$

Passaggio 8