Matematica discreta Esempi

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Passaggio 2.2

Imposta $\sin (2 A)$ uguale a $0$ e risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta $\sin (2 A)$ uguale a $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Passaggio 2.2.2

Risolvi $\sin (2 A) = 0$ per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 A = \arcsin (0)$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 A = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 0$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$A = 0$

Passaggio 2.2.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 A = 180 - 0$

Passaggio 2.2.2.5

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 A = 180 + 0$

Passaggio 2.2.2.5.1.2

Somma $180$ e $0$ .

$2 A = 180$

Passaggio 2.2.2.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 180$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 180$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 2.2.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Passaggio 2.2.2.5.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Passaggio 2.2.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.5.2.3.1

Dividi $180$ per $2$ .

$A = 90$

Passaggio 2.2.2.6

Trova il periodo di $\sin (2 A)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 2.2.2.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 2 |}$

Passaggio 2.2.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{360}{2}$

Passaggio 2.2.2.6.4

Dividi $360$ per $2$ .

$180$

Passaggio 2.2.2.7

Il periodo della funzione $\sin (2 A)$ è $180$ , quindi i valori si ripetono ogni $180$ gradi in entrambe le direzioni.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3

Imposta $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ uguale a $0$ e risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ uguale a $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Passaggio 2.3.2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (A)$ per $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.3.2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.2.8

Risolvi per $A$ in $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.3.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $45$ .

$A = 45$

Passaggio 2.3.2.8.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$A = 180 - 45$

Passaggio 2.3.2.8.4

Sottrai $45$ da $180$ .

$A = 135$

Passaggio 2.3.2.8.5

Trova il periodo di $\sin (A)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 2.3.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 2.3.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 2.3.2.8.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 2.3.2.8.6

Il periodo della funzione $\sin (A)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3.2.9

Risolvi per $A$ in $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.9.1

Trova il valore dell'incognita $A$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.3.2.9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.9.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- 45$ .

$A = - 45$

Passaggio 2.3.2.9.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $360$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $180$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$A = 360 + 45 + 180$

Passaggio 2.3.2.9.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.9.4.1

Sottrai $360 °$ da $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Passaggio 2.3.2.9.4.2

L'angolo risultante di $225 °$ è positivo, minore di $360 °$ e coterminale con $360 + 45 + 180$ .

$A = 225 °$

Passaggio 2.3.2.9.5

Trova il periodo di $\sin (A)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Passaggio 2.3.2.9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{360}{| 1 |}$

Passaggio 2.3.2.9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{360}{1}$

Passaggio 2.3.2.9.5.4

Dividi $360$ per $1$ .

$360$

Passaggio 2.3.2.9.6

Somma $360$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.9.6.1

Somma $360$ a $- 45$ per trovare l'angolo positivo.

$- 45 + 360$

Passaggio 2.3.2.9.6.2

Sottrai $45$ da $360$ .

$315$

Passaggio 2.3.2.9.6.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$A = 315$

Passaggio 2.3.2.9.7

Il periodo della funzione $\sin (A)$ è $360$ , quindi i valori si ripetono ogni $360$ gradi in entrambe le direzioni.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3.2.10

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3.2.11

Consolida le risposte.

$A = 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ vera.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Combina $180 n$ e $90 + 180 n$ in $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5.2

Consolida le risposte.

$A = 45 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $A$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${A | A \neq 45 n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4