Matematica discreta Esempi

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $\sqrt[9]{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.4

Semplifica.

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt[9]{x}$ .

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ come $\sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[9]{x}$ come $x^{\frac{1}{9}}$ .

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

$\frac{1}{9}$ e $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.3.3.1.2.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{3}}$ come $\sqrt[3]{x}$ .

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione come $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ .

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

Passaggio 2.5

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.2.1.4

Semplifica.

$- x = {(27 x)}^{3}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Semplifica ${(27 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $27 x$ .

$- x = 27^{3} x^{3}$

Passaggio 2.6.3.1.2

Eleva $27$ alla potenza di $3$ .

$- x = 19683 x^{3}$

Passaggio 2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sottrai $19683 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x - 19683 x^{3} = 0$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $- x$ da $- x - 19683 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Riordina $- x$ e $- 19683 x^{3}$ .

$- 19683 x^{3} - x = 0$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $- x$ da $- 19683 x^{3}$ .

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $- x$ da $- x$ .

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.7.2.4

Scomponi $- x$ da $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ .

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.7.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.7.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.7.5

Imposta $19683 x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.1

Imposta $19683 x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.7.5.2

Risolvi $19683 x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$19683 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.7.5.2.2

Dividi per $19683$ ciascun termine in $19683 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.2.1

Dividi per $19683$ ciascun termine in $19683 x^{2} = - 1$ .

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Passaggio 2.7.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $19683$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Passaggio 2.7.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

Passaggio 2.7.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

Passaggio 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

Passaggio 2.7.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{19683}$ come ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $1$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.1.3

Scomponi la potenza perfetta $81^{2}$ su $19683$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.1.4

Riordina la frazione $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

Passaggio 2.7.5.2.4.1.5

Riscrivi $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ come ${(\frac{i}{81})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.5

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.7.5.2.4.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.7.5.2.4.6.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.7.5.2.4.7

Moltiplica $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{i}{81}$ per $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

Passaggio 2.7.5.2.4.7.2

Moltiplica $81$ per $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Passaggio 2.7.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Passaggio 2.7.5.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Passaggio 2.7.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Passaggio 2.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 4