Matematica discreta Esempi

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Passaggio 1

Sottrai ${(x - 3)}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Passaggio 3.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Passaggio 3.3.5

Somma $3$ e $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

Passaggio 4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Passaggio 4.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

Passaggio 4.4

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Passaggio 5

Imposta il radicando in $\sqrt{x (- x + 6)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x (- x + 6) \geq 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

Passaggio 6.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.3.1

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi $- x + 6 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 6$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$x = 6$

Passaggio 6.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (- x + 6) \geq 0$ vera.

$x = 0, 6$

Passaggio 6.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 6.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Passaggio 6.6.1.3

Il lato sinistro di $- 16$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 6.6.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Passaggio 6.6.2.3

Il lato sinistro di $9$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 6.6.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Passaggio 6.6.3.3

Il lato sinistro di $- 16$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

Passaggio 6.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 6$

Passaggio 7

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, 6]$

Notazione intensiva:

${x | 0 \leq x \leq 6}$

Passaggio 8