Matematica discreta Esempi

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in

$\ln (x - e^{6} x)$ in modo che sia maggiore di

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - e^{6} x > 0$

Passaggio 2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi

$x$ da

$x - e^{6} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi

$x$ da

$x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi

$x$ da

$- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi

$x$ da

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) > 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Passaggio 2.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 2.1.5.1.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Passaggio 2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Passaggio 2.2

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$1 + e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di

$1 - e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.2.2.3.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 2.2.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 2.2.3.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 2.2.3.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 2.2.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Passaggio 2.2.3.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi

$0$ per

$(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in

$\ln (\ln (x - e^{6} x))$ in modo che sia maggiore di

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\ln (x - e^{6} x) > 0$

Passaggio 4

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\ln (x - e^{6} x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per risolvere per

$x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{0}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi

$\ln (x - e^{6} x) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se

$x$ e

$b$ sono numeri reali positivi e

$b \neq 1$ , allora

$\log_{b} (x) = y$ è equivalente a

$b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - e^{6} x$

Passaggio 4.2.3

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi l'equazione come

$x - e^{6} x = e^{0}$ .

$x - e^{6} x = e^{0}$

Passaggio 4.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Passaggio 4.2.3.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Scomponi

$x$ da

$x - e^{6} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x - e^{6} x = 1$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Scomponi

$x$ da

$x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x = 1$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Scomponi

$x$ da

$- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.1.4

Scomponi

$x$ da

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.3

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.5.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.5.1.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.7

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 1$

Passaggio 4.2.3.3.7.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$

Passaggio 4.2.3.4

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = 1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$1 + e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di

$1 - e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2.3

Elimina il fattore comune di

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.2.2.3.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x = \frac{1}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.3.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x = \frac{1}{1^{3} - e^{6}}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{1}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x = \frac{1}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.3.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x = \frac{1}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.3.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.3.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.2.3.4.3.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di

$\ln (x - e^{6} x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta l'argomento in

$\ln (x - e^{6} x)$ in modo che sia maggiore di

$0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - e^{6} x > 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi

$x$ da

$x - e^{6} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$x - e^{6} x > 0$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Scomponi

$x$ da

$x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{6} x > 0$

Passaggio 4.3.2.1.1.3

Scomponi

$x$ da

$- e^{6} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.1.4

Scomponi

$x$ da

$x \cdot 1 + x (- e^{6})$ .

$x (1 - e^{6}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.2

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{6}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.3

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.5.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.5.1.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.7

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) > 0$

Passaggio 4.3.2.1.7.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$

Passaggio 4.3.2.2

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Dividi per

$1 - e^{6}$ ciascun termine in

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) > 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$1 + e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di

$1 - e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di

$1 + e^{2} + e^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.2.2.3.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$x < \frac{0}{1 - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - e^{6}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.2

Riscrivi

$e^{6}$ come

${(e^{2})}^{3}$ .

$x < \frac{0}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove

$a = 1$ e

$b = e^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1.4.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$x < \frac{0}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = 1$ e

$b = e$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.4.3

Moltiplica

$e^{2}$ per

$1$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in

${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.1.5.2.2

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x < \frac{0}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Passaggio 4.3.2.2.3.2

Dividi

$0$ per

$(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})$ .

$x < 0$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0)$

Passaggio 4.4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})})$

Notazione intensiva:

${x | x < \frac{1}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}}$

Passaggio 6