Matematica discreta Esempi

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Passaggio 2.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

$- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Passaggio 2.1.4.3

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Passaggio 2.2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.10

Consolida le soluzioni.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.11

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.11.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 2.12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 2.13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Passaggio 2.13.1.3

Il lato sinistro di $- 3.\overline{6}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.13.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.31$

Passaggio 2.13.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.31$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Passaggio 2.13.2.3

Il lato sinistro di $1.91580645$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.13.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 2.13.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Passaggio 2.13.3.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.13.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.13.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Passaggio 2.13.4.3

Il lato sinistro di $2.75$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.13.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Vero

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falso

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falso

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Vero

Passaggio 2.14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ o $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Passaggio 5